威廉向克斯的憾事与圆周率中的统计

圆周率π是圆周长与直径的比值。公元前三世纪，古希腊著名学者阿基米德计算出π≈3.14。公元263年前后，我国魏晋时期的数学家刘徽，利用割圆术计算了圆内接正3072 边形的面积，求得π≈3927/1250=3.1416。又过了约两百年，我国南北朝时期杰出的数学家祖冲之确定了π的真值在3.1415926 与3.1415927之间。祖冲之之后的第一个重大突破，是阿拉伯数学家阿尔·卡西，他计算了圆内接和外切正3×228＝805306368 边形的周长后得出：π≈3.1415926535897932

公元1610年，德国人鲁道夫（1540～1610）把π算到了小数点后35位。

往后，记录一个接一个地被刷新：1706年，π的计算越过了百位大关，1842年达到了200位，1854年突破了400位，1872年，英国学者威廉 向克斯（1812～1882）花费了整整二十个年头把π的值算到了小数点后707位。向克斯死后，人们纪念他，就在他的墓碑上刻下了他一生心血的结晶：π的707位小数。此后半个多世纪，人们对威廉 向克斯的计算结果深信不疑，以至于在1937 年巴黎博览会发现馆的天井里，依然显赫地刻着向克斯的π值。

又过了若干年，数学家法格逊对向克斯的计算结果产生怀疑，他认为在π的数值式中，各数码出现的概率都应当等于1/10。于是，他统计了威廉·向克斯π的头608 位小数中，各数码出现的情况：

法格逊觉得：向克斯计算的π，数码出现的次数不是基本相同，可能是计算有错。于是，他用当时最先进的计算工具，从1944年5月到1945年5月，整整算了一年，终于发现：向克斯π的707位小数中，只有前527 位是正确的，由于当初向克斯没有发现，使他白白浪费了许多年的光阴，这真是终生的憾事。法格逊的成就，基于他的一个猜想，即在π值的数值式中各数码出现的概率相等。尽管这个猜想曾导致法格逊发现并纠正了向克斯的错误，然而猜想毕竟不等于事实！法格逊想验证它，却无能为力，人们想验证它，又苦于已知π的位数太少。

但是情况很快有了转机，随着电子计算机的出现和应用，计算π的值有了飞速进展。1961年，美国学者丹尼尔和伦奇把π算到了小数点后100265位，20年后，日本人又把记录推过了200000 位大关。于是，人们的心中又重新燃起了验证法格逊猜想的希望之火。1973年，法国学者让盖尤与芳旦娜小姐合作，对π的前一百万位小数中各数码出现的频率，进行了有趣的统计，得出以下结果。

从上表看出，尽管各数字出现也有某种起伏，但基本上平分秋色。看来，法格逊的想法应当是正确的！